受講すれば派遣事業ができますか？

できません。
派遣事業は厚生労働大臣の許可が必要です。派遣元責任者講習を受講することで派遣元責任者に選任される際に必要な「派遣元責任者講習受講証明書」が交付されます。許可を受けるためには派遣元責任者を選任し、管轄の都道府県労働局に許可の申請をする必要があります。